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PhD thesis

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BY ››Gwenaël GUILLARD
DIRIGEE PAR ››Roux C, Hamitouche C
Title ››Un espace de représentation pour l'étude conjointe de la morphologie et de la fonctionnalité des surfaces articulaires
THESE DE ››SCIENCE
INSTITUTION ››Ecole Nationale Supérieure des Télécommunications de Bretagne
ECOLE DOCTORALE ››Matisse, Rennes
SOUTENUE LE ››2005-12-15
Keywords ››Géométrie cinématique, Anatomie humaine, Articulations, Quaternion, Algèbre non commutative
RESUME ››Une bonne connaissance de l'aspect géométrique et du comportement mécanique des articulations humaines est indispensable pour améliorer le développement de prothèses, la chirurgie de reconstruction ainsi que le diagnostic et la thérapie des pathologies articulaires.
La forme et la fonctionnalité des complexes ostéo-articulaires sont totalement interdépendantes ; à tel point qu'il est vain d'essayer de déterminer laquelle influence l'autre. Malheureusement, à ce jour les deux aspects de cette relation morpho-fonctionnelle n'ont jamais été traités simultanément et une représentation commune doit donc être utilisée.
Dans cette thèse, nous avons proposé d'adopter la théorie des surfaces réglées. En nous appuyant sur cette théorie, la forme est associée à la surface focale géodésique et la fonction à l'axode, toutes deux surfaces réglées et nous avons montré que sous certaines conditions ces deux surfaces sont confondues. Un changement d'espace de représentation est toutefois nécessaire et nous avons proposé d'utiliser l'espace des quaternions duaux, ceci nous permettant de prendre en compte les propriétés différentielles propres aux surfaces réglées.
Afin de profiter au mieux de cette représentation, nous avons été amenés à définir la notion d'angle puis à fournir une nouvelle formule d'interpolation entre deux quaternions duaux. Dès lors, nous étions en mesure d'étendre les algorithmes de Bézier et de Spline à l'espace des quaternions duaux. Une fois le plongement des surfaces réglées dans cet espace effectué, nous avons donné de nouveaux algorithmes pour leur interpolation et leur approximation. Outre la modélisation des surfaces réglées, cette représentation permettra d'extraire des paramètres pertinents en vue de faire de l'analyse, de la comparaison et de la classification des surfaces, puis, à plus long terme, des pathologies. Un atlas des signatures morpho-fonctionnelles des pathologies articulaires pourra ainsi être développé.